指数・対数関数(Ⅱ)

　まず，指数関数ですが，累乗根の拡張から入っていきます。皆さんご存じの平方根だけでなく，3乗根，4乗根。そしてマイナス乗，分数乗と指数のあり方を拡張していきます。なお，累乗根の処理は，分数指数で行う方がラク(FAQ)です。最後には実数全体で定義できる指数関数を学習します。ここでのポイントは，指数方程式・不等式における，置き換えのタイミングというか判断です。式の形を見て，指数同士の積・商なら，a^x=a^y <=> x=y とできますが，指数同士の和・差が入った場合は，t=a^x などと置き換え，という風に，対応を変えることができるかどうか，になります。

　次の対数の意義を一言で言うと，「掛け算を足し算にしてラクに計算する」ことです。前回の宿題は，「10^5×10^6=10^(5+6)=10^11=一千億」と，指数の足し算にしてしまえば，ラクでしたね。だから，この指数部分を取り出してラクに計算しよう，というのが対数の基本的アイデアです。

　対数には，意外と身の回りに使用例があります。有名な例としては，地震のマグニチュードにも対数が使われています。豆知識ですが，マグニチュードが 1 上がると，地震のエネルギー量は，約32倍になります。(正確には10√10倍)だから，マグニチュード9.0という東日本大震災の地震は，比較的よくあるマグニチュード7.0の地震1000回分のエネルギーが１分ほどで一気に開放されたことになります。あの大津波も，それが原因の一つだったのです。
　真数条件をまずチェックすること，底変換公式に慣れること，そしてやはり置き換えのタイミングをマスターしましょう。置き換えるかどうかは，「対数の1次式ならまとめる，対数の2次式とか，商があったら置き換える」という対応です。また，常用対数による高い累乗数の桁数判定も頻出問題です。例えば，3の200乗は，何桁か，という問題ですね。これは慣れると暗算で出てしまいます。対数を使うとこんな魔法のようなことがいろいろできます。さらに，この対数関数は，おもに大学教養レベルから習う「微分方程式」を解く際には，必須の関数となります。そういう意味でも，とても重要なのです。とにかく計算が独特なので，反復練習で慣れましょうね。

ではまた次回。

Nasuno Kumao