第16条　数学は人工言語である。言葉の定義を大切にせよ

　英語や国語，社会という教科は，いわば自然言語で構成されたものだと思いますが，数学は人工言語という感じがします。これは私ではなくて，ある現代文の指導で有名な先生の言葉ですけども，言い得て妙なので，私もそう思うことにしました。またある受験関連のマンガでは「数学とはゲームだ」と言っていましたけども，似たようなことを指していると思います。
　つまり，数学の問題を解くというのは，数学の約束事，ルールの枠内で思考し，答えを出していくゲームのようなものだ，ということですね。確かにそういうところはあって，日々解いているとこれを実感する場面が多くあります。
　宿題でも出しましたが，「無理数」の定義の一つは「有理数でない実数」です。他には「循環しない無限小数」というのもありますが，通常は「有理数でない」を使います。そしてよく出る問題のタイプに，「～が無理数であることを証明せよ。」があります。この証明にはなぜか背理法が多用されます。(その理由をぜひ一度考えてみて下さい。)
　つまり，無理数であることの証明は，その結論を否定して，有理数だと仮定すると，何か矛盾が出る。数学の世界では，ここがまさしく人工言語らしいところですけども，「○か×か」どっちかしかない事柄(=命題と呼びます)しか扱いません。結論を否定したら矛盾したので，この結論は正しい，というのが背理法のロジックです。間接証明法の一つで，数学ではとても重要な手法です。
　また，今回の無理数の証明の基盤は，言葉の定義でした。このように，数学を考える時に，躓いたら，「そもそもこれの定義って何やったっけ？」と教科書に戻って確認することが，とても大事です。そういう意味で，受験期には，教科書を机か近くの本棚に揃えておきましょうね。これが辞書代わりになりますから。なお，大学で文系に進む人でも，学問をやるときは，専門用語の定義を具体例と共にしっかり覚えることが，かなり大事だと思いますよ。そういう意味でも，文系の難関大では数学が課されるのかもしれませんね。

　第17条への宿題です。着実に点を取るための心がけは何でしょうか。

ではまた次回。

Nasuno Kumao